Condorcet method

出自翠花

孔多赛方法是指任何遵从孔多赛准则的单一获胜选举制度，即在存在两两击败其他所有对手的孔多赛赢家存在的情况下，能将他选出。在现代的例子中，孔多赛方法一般使用排序选票。出于解决circular ambiguities（环形不确定）的需要，不同的孔多赛方法有些微的区别——比如Kemeny-Young method,Ranked Pairs, 和Schulze method.

孔多赛方法因为18世纪数学家与哲学家孔多赛而得名，Ramon Llull 在1299年发明了历史上第一个孔多赛方法，但这个方法是基于繁琐的反复投票而不是排序选票。

目录 1 Summary概要 2 Definition定义 3 基本程序 3.1 投票 3.2 找到获胜者 3.3 配对计分(Pairwise counting)与矩阵表格 4 一个例子 5 环形不确定Circular ambiguities 6 二重方法系统 7 单一方法系统 7.1 Kemeny-Young method

Summary概要

按偏好将候选人排序（第一，第二，第三等）。并列排序，即该选民将多个候选人并列排为某一等级，是允许的。 在每张选票上，两两比较所有候选人的偏好排序，给两两比较的赢家标记一个“胜” 总计所有选票中的两两比较结果，得出任意两个候选人间的胜败情况。 在与其他所有候选人两两比较中皆获胜的候选人即是相对最受欢迎，是为赢家。 在不能产生上述赢家的情况下，将使用用下述的完结法。 孔多赛方法的有趣之处在于因为相对最受欢迎而获胜的赢家并不一定是那个得到最多第一偏好的人。

Definition定义

孔多赛方法是指任何遵从孔多赛准则的单一获胜选举制度，即在存在两两击败其他所有对手的孔多赛赢家存在的情况下，能将他选出。孔多赛赢家可以通过一系列的两两比较很容易的计算出，详见下述“基本程序”。诸种孔多赛方法（Condorcet method）也被统称“孔多赛的方法”（Condorcet's method）（此句无聊）。总能选出孔多赛赢家的选举制度称为孔多赛准则（Condorcet criterion）。

在某些情况下或选不出孔多赛赢家。这是一种被称作“多数原则循环（”'majority rule cycle'）（就是说几个候选人形成相互击败的循环）的孔多赛悖论。此种情况下，不同的孔多赛方法会选出不同的最终赢家。一些孔多赛方法包含下述的基本程序，并伴随一个孔多赛完结法Condorcet completion method——在没有孔多赛赢家的情况下选出获胜者的方法。另一些方法的计票方式则与下述基本程序毫不相干，但也被归入孔多赛方法，只要它能在存在孔多赛赢家的情况下将它选出。

但需注意，并非所有单一获胜者制度，偏好排序制度都是孔多赛方法。比如instant-runoff voting （排序复选制度），Borda count（波达计数法）就无法满足孔多赛准则。

基本程序

投票

在孔多赛选举中，选民按喜好将候选人按偏好排序。比如，选民给它最喜欢的候选人标1，次喜欢的候选人标2，等。在这个方面，孔多赛制度与排序复选制和单一选区可让渡制是一样的。一些孔多赛制度允许选民给多个候选人同一排名，比如将两个候选人都标为第一偏好。

一般的，如果选民没有把全部选票上的候选人排序，在计票上认为全部被排序的候选人偏好等级高于未被排序的候选人。一些孔多赛方法允许另选他人，但是出于计票的方便，为孔多赛选举制度设计的软件不允许这个选项。

找到获胜者

计票的方法是使每个候选人在模拟的一对一较量中与其他候选人单挑。在所有一对一较量中获胜的赢家即受到多数选民的偏爱。在某选票上排序较高的候选人即是该候选人较为偏爱的。举例说明，Alice与Bob的一对一较量，就需要计算偏好Alice大于Bob的选民人数，以及偏好Bob大于Alice的选民人数。如果Alice被较多的选民所偏好那么他是这场一对一较量的赢家。当所有都配对可能都被考虑和计算，若有人在这些一对一较量中击败其他所有人，那么他就是孔多赛赢家。就像上面说过的，如果没有产生孔多赛赢家，就要有额外方法来选择最终获胜者，这种额外方法因为各孔多赛方法而异。

配对计分(Pairwise counting)与矩阵表格

（说的或翻的很乱，看图就明白了） 孔多赛方法使用配对计分。在每一组可能的候选人配对中，甲的配对计分取决于他被选民偏好于乙的次数，乙的配对计分取决于他被选民偏好于甲的次数。最后对所有配对的所有配对计分来个总清算。

配对计分就像下图所示列在矩阵表格里。此矩阵中，行的候选人称为“主场”'runner'，列的候选人称为“敌手”'opponent'。行列交错的格子记录该配对较量的战果。某些格子为空，因为不能自己战自己。

想象有一场ABCD间的选战。下面第一张矩阵表格记录某单一一张选票的偏好，此选民的偏好是（b,c,a,d)，即b为第一偏好，c为第二偏好，a为第三偏好，d为第四偏好。在矩阵中，“1”表示主场相对敌手被偏好一次，0表示平局。 （图）

矩阵表格因为计分方便所以常用。统计所有选票后得出的最终矩阵称为合计矩阵（sum matrix）。如果上述的选战案例中还有两个选民。他们的偏好分别是(D, A, C, B) 和 (A, C, B, D)。把他们的选票加上例子中第一个选民的选票，可以得出如下的合计矩阵。 （图） 得出合计矩阵后，就可以计算每对候选人两两比较的胜负。把偏好主场胜于敌手的选票（主场，敌手），与偏好敌手胜于主场的选票（敌手，主场）进行比较。就有可能找出孔多赛赢家。在上图合计矩阵中，a是孔多赛赢家，因为a打败了其他所有候选人。如果没有孔多赛孔多赛完结法，比如Ranked Pairs 或 the Schulze method，就要使用合计矩阵本身所包含的信息选出赢家。

上图中“-”号也可等于数字“0”，但破折号也用以表示候选人不需要自己战自己。The first matrix, that represents a single ballot, is inversely symmetric: (runner,opponent) is ?(opponent,runner). Or (runner,opponent) + (opponent,runner) = 1. The sum matrix has this property: (runner,opponent) + (opponent,runner) = N for N voters, if all runners were fully ranked by each voter.

一个例子

假设田纳西州要进行一场选择州府的公投。田纳西的人口都集中在四个主要的城市。我们假设所有的选民都住在这四座城市，并且他们都希望离州府尽可能的近。

这四座候选城市分别是：

孟菲斯市（Memphis ）：全州最大的城市，占总选民比例 42%，但是离其他城市较远

纳什维尔市（Nashville ）：占总选民比例 26%，位于州的中部

诺克斯维尔市(Knoxville） ：占总选民比例 17% 查塔诺加市(Chattanooga )：占总选民比例 15%

选民的意向如下： （图）

为了选出孔多赛赢家，所有候选城市要在模拟的两两较量中与其他所有候选城市单挑。每场单挑的赢家是更受偏好的城市。得出的最终结果如下： （图） 最终结果的矩阵格式 （图） 注： [A] 表示选民偏好列排的候选城市多于横排的候选城市。 [B] 表示选民偏好横排的候选城市多于列排的候选城市。 "Ranking"（排名）是轮次排除孔多赛赢家再重计算的结果。（这个排名不是必须的） 结果：有上两表格可知，Nashville打败所有其他候选城市。所以Nashville是孔多赛赢家。若该选举使用其他孔多赛方法，Nashville也会获胜。

虽然任何孔多赛方法都会选出Nashville，但是若选举基于using first-past-the-post 或 instant-runoff voting，则会分别选出Memphis和Knoxville。而无视绝对多数选民其实更偏好于Nashville。孔多赛方法更注重这种偏好，而不是忽视或无视它们。

环形不确定Circular ambiguities

上面已经说到，有时一场选举不会产生了孔多赛赢家，因为没有那个候选人能够比所有其他候选人更受偏好。这种情况叫majority rule cycle', 'circular ambiguity' or 'circular tie'。即但全部选票被累计后，一些候选人的战绩形成一个循环击败的圈，这一部分候选人每个都至少被当中的其他一人打败，举个例子，假设有三个候选人，Andrea, Carter and Delilah，如果选民偏好Andrea大于Carter， Carter大于Delilah, 但是又偏好Delilah大于Andrea。根据选举的具体环境，环形不确定发生的概率不同。但是总是存在发生环形不确定的可能性，所以素有孔多赛制度必须能够在发生的情况下决定一个最终赢家。用于解决环形不确定的方法叫做不确定解决法或者孔多赛完结法（ambiguity resolution or Condorcet completion method.）。

环形不确定也常被称作投票悖论（voting paradox）——单个候选人的线性偏好与选举的非线性结果可能性之间的矛盾（形成环形）。（the result of an election can be intransitive (forming a cycle) even though all individual voters expressed a transitive preference.）在孔多赛选举中，单个选民不能设置循环偏好，因为单个选民只能给候选人排序并且每个候选人只能被排序一次，但是选举悖论意味中环形不确定还是可能出现。

理想化的政治光谱political spectrum 常用语描述政治候选人和政治家。这意味着每一个候选人都可以在一条从极左到极右的直线上定位。哪里存在这种光谱且选民会偏好离他的政治光谱定位更近的候选人，哪里就存在孔多赛赢家(Black's Single-Peakedness Theorem)。但现实中的政治光谱至少是二维的。

就像在其他大多数选举制度中一样，孔多赛方法也会产生普通平局（ordinary tie）。比如两个或多个候选人相互平局，但击败除他们外的其他候选人。与其他制度一样，平局可以用随机法（random method），比如抓阄解决。平局也可用其他方法解决，比如查看那个获胜者得到更多的第一偏好，但这种以及其他的非随机法（non-random methods）会导致一定程度的策略投票（tactical voting），尤其是在选民知道几个候选人的选举结果会非常接近的时候。

对用于解决环形不确定的方法的选择是各种孔多赛方法的最大差异处。There are countless ways in which this can be done, but every Condorcet method involves ignoring the majorities expressed by voters in at least some pairwise matchings.

孔多赛方法可以分成这两类 二重方法系统，当没有孔多赛赢家的时候，用另一种独立的方法解决。 单一方法系统，只用单一的一种方法，有孔多赛赢家就会选出孔多赛赢家，没有就会选出另一个，一气呵成毫不拖泥带水。

二重方法系统

此一类孔多赛方法，首先处理一系列两两较量，如果没有得出孔多赛赢家，则转求于另外的完全不同的，非孔多赛方法的方法来决定赢家。此中最简单的会完全无视两两较量的结果。比如Black method选择孔多赛赢家当它存在的时候，但使用波达计数法当不确定性存在的时候。（这方法叫做Duncan Black）

一种更复杂的两步程序（two-stage process）是，在不确定性（ambiguity）的情况下，使用一独立方法寻找赢家但是把第二步限定在审查两两比较而得出的候选人的一种子集中。这种子集当孔多赛赢家存在时，只包括孔多赛赢家，并且在任何情况下，都极少包括一个候选人。这些子集有：

史密斯集合（Smith set）：在特殊情况下出现的最小的非空子集，子集内地的任一候选人可以击败子集外的所有候选人。显而易见每场选举中只能出现一个史密斯集合。

斯特华斯集合（Schwartz set）:最小的不被击败集合，一般等于史密斯结合。它被定义为所有满足以下条件的候选人的集合的结合： 1，集合内的所有候选人不能被集合外任何候选人单挑失败。（允许平局） 2，此集合中没有满足条件1的子集。

兰道集合（Landau set ）(or uncovered set or Fishburn set)：这种集合是说，集合内的人，较于所有其他人（包括集合内部的额），能击败之，或者击败能击败这个人的第三者。

一种方法是在史密斯集合中使用多数复选制（instant-runoff voting）。此法叫做'Smith/IRV'。

单一方法系统

这些孔多赛方法使用单一的符合孔多赛准则的程序，不借助外在程序，亦在环形不确定性出现时解决它。换一种说法，再出现特殊情况的时候，这些方法不会牵涉到另外的一种独立的程序。一般的，这些方法基于对两两较量的计算。这些方法包括：

Copeland's method：这种简单方法会选出得两两比较胜数最多者为赢家。但是它很容易制造平局。 Kemeny-Young method：这种方法把候选人按最受欢迎到最不受欢迎排序。 Minimax：有叫做 'Simpson', 'Simpson-Kramer', 和 'Simple Condorcet'。这种方法选择在两两比较中最差失败战绩比其他人的两两比较中最差的一次失败战绩要好的候选人。此方法的改进版是把选择赢家的范围限制在史密斯集合中，叫做Smith/Minimax'。 Ranked Pairs:此法又叫做'Tideman'，得名于他的候选人Nicolaus Tideman。

Schulze method：又叫做'Schwartz sequential dropping' (SSD), 'cloneproof Schwartz sequential dropping' (CSSD), 'beatpath method', 'beatpath winner', 'path voting' and 'path winner'.

Ranked Pairs and Schulze are procedurally in some sense opposite approaches (although they very frequently give the same results): Ranked Pairs (和它的变体) Schulze依次踢出被击败次数最多的候选人，直到不确定性消失。

Minimax could be considered as more "blunt" than either of these approaches, as instead of removing defeats it can be seen as immediately removing candidates by looking at the strongest defeats (although their victories are still considered for subsequent candidate eliminations).

Kemeny-Young method

下面先放着~~囧